ESTUDIO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemáticas que nos van a facilitar los cálculos : las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los s
istemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemáticas que nos van a facilitar los cálculos : las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los s
istemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Preliminares :
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :
Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.
Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así :
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :
Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.
Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así :
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
Dode :
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir
Dode :
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir
Clasificación :
Atendiendo a sus soluciones :
Atendiendo a sus soluciones :
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